Mario Alberto Sandoval Hernández, ORCID 0000-0002-5518-3858, Centro de Bachillerato Tecnológico industrial de servicios No. 190, Universidad de Xalapa
Hugo Jiménez Islas, ORCID 0000-0002-1084-5520, Tecnológico Nacional de México en Celaya
Héctor Vázquez Leal, ORCID 0000-0002-7785-5272, Universidad de Xalapa
Gloria M. Martínez González, ORCID 0000-0002-7314-1379, Tecnológico Nacional de México en Celaya
Norma Leticia Flores Martínrez, 0000-0002-4415-7224, Universidad Politécnica de Guanajuato
Resumen
La función de Lambert, esencial en el ámbito de las ecuaciones complejas donde el álgebra tradicional no es suficiente, se destaca por tener dos ramas en el dominio de los números reales. Esta característica la hace particularmente importante en campos como la física, específicamente en el disparo de proyectiles, y en diversas áreas de la ingeniería, incluyendo la eléctrica, electrónica, química y el sector de las energías renovables. Debido a la importancia que posee Lambert W en este trabajo se propone la función logaritmo para aproximar la función W de Lambert utilizando el Método de Serie de Potencias extendidas. Las series de Taylor de la expresión que se propone son iguales a las series de Taylor de la función W de Lambert hasta la potencia 170 posteriormente divergen lentamente para valores de potencia más altos. La aproximación solo requirió los primeros 17 coeficientes de las series de Taylor de Lambert W, permitiendo predecir los coeficientes siguientes. Además, se obtiene el error absoluto de la derivada hasta el orden 90; el error relativo máximo alcanzado fue de 2.039 × 10^(-3) en el origen. El error relativo obtenido fue de aproximadamente 8.078 ×10^(-5) para el intervalo -1/e < x < 1761. Sin embargo, la solución aproximada exhibe una muy buena precisión incluso para 9 × 10^46, con un error relativo de 32.46 × 10^(-3).
Palabras clave: Algebra, método de series de potencias extendidas, Aproximación analítica, función trascendente, Aproximantes de Padé
Abstract
Lambert’s W function, crucial in complex equations where traditional algebra is insufficient, is distinguished by its two branches in the real number domain. This feature makes it particularly significant in fields like physics, especially in projectile firing, and in various engineering disciplines, including electrical, electronic, chemical, and renewable energy. Recognizing the importance of Lambert W, this study proposes using the logarithm function to approximate the Lambert W function through the Extended Power Series Method. The Taylor series of the proposed expression align with those of the Lambert W function up to the 170 power, then gradually diverge at higher powers. This approximation required only the first 17 coefficients of Lambert W’s Taylor series, enabling the prediction of subsequent coefficients. Additionally, the absolute error of the derivative is calculated up to the 90th order; the maximum relative error was 2.039 × 10^(-3) at the origin. The relative error obtained was approximately 8.078 ×10^(-5) for the interval -1/e < x < 1761. However, the approximate solution demonstrates high precision even for 9 × 10^46, with a relative error of 32.46 × 10^(-3).
Keywords: Algebra, extended power series method, Analytical approximation, transcendental function, Padé approximants.
1 Introducción
La función W de Lambert es una función trascendente implícita definida como W(x) exp(W(x)) = x para valores reales de W dentro del intervalo -1/e≤x<∞ Posee dos ramas para números reales, ver Fig. 1. La rama principal, o superior, se denota como W_0 (línea sólida) (Corless, et al, 1996). En este trabajo, se asume que W se refiere a la rama principal W_0. En la misma figura, la rama inferior W_(-1) está representada por una línea discontinua (Corless, et al, 1996).
La función W de Lambert es multivaluada para el rango -1/e≤x<0 debido a la presencia de las ramas W_0 y W_(-1). Como consecuencia, el rango para la rama inferior W_(-1) es -∞<y≤-1/e ; mientras que, para la rama principal o superior, se divide en dos regiones:〖W_0〗^-: (-1)/e≤y≤0 y 〖W_0〗^+: 0 ≤y. En la figura 1 se muestra la Funcion Lambert W con la rama superior e inferior.
Figura 1. Gráfica de la función Lambert W.
La función W de Lambert lleva el nombre del matemático, físico, astrónomo y filósofo alemán Johann Heinrich Lambert (26 de agosto de 1728 – 25 de septiembre de 1777). La historia de la función W de Lambert y sus características comienza en el siglo XVIII, alrededor de 1758, cuando J. H. Lambert consideró el caso especial de 〖W(x) e〗^(W(x)) (Lambert, 1758; Euler, 1783); este trabajo fue publicado en 1783, y posteriormente considerado por L. Euler. Por otro lado, el inverso de 〖W(x) e〗^(W(x)) fue propuesto por Polya y Szegö, (1925). La función de Lambert comenzó a utilizarse en la década de 1970. En (Fritz et al., 1973), se introdujo un algoritmo numérico en Fortran para resolver la ecuación 〖W(x) e〗^(W(x))=x. Este algoritmo permitió calcular soluciones reales cuando x > 0. Asimismo, se escribió como una propuesta para resolver ecuaciones, pero no se proporcionó un uso práctico del algoritmo numérico. La importancia de la función W de Lambert no fue realmente valorada hasta la década de 1990, cuando Corless y los desarrolladores del software matemático Maple.
En (Fukushima, 2013) se propone un algoritmo para obtener una solución numérica para W_0 y W_(-1)mediante una expansión alrededor del punto de ramificación cero. Sin embargo, en (Corless, et al, 1996; Chapeau-Blondeau y Monir, 2002), se propone evaluar las ramas de la función W de Lambert utilizando funciones analíticas aproximadas y aumentando la precisión con el método numérico de Halley (Yau y Ben-Israel, 1998). Por otro lado, en los últimos años, varios investigadores han hecho diferentes propuestas para aproximar analíticamente la función W de Lambert (Boyd, 1998; Barry et al., 2000). En (Chapeau-Blondeau y Monir, 2002) se proponen expansiones de series que permiten evaluar la rama W_(-1) para el rango -1/e≤z≤0.
Una característica importante para cualquier solución exacta es que esté escrita en términos de funciones algebraicas y trascendentes, incluyendo los parámetros del fenómeno, lo que permite realizar análisis matemático, como análisis de estabilidad, puntos críticos, entre otros. En consecuencia, la función W de Lambert permite obtener soluciones en términos de los parámetros del fenómeno.
La función Lambert W es utilizada para obtener soluciones de ecuaciones no lineales que modelan un fenómeno dentro del campo de la física. Por ejemplo, en (Belgacem, 2017) se aplicó en trayectorias de proyectiles, en problemas de física de plasma (Dubinova, 2004), electromagnetismo (Tao y Liu, 2002), solución a las ecuaciones de las leyes de Kepler (Sengupta, 2007), entre otros. El trabajo publicado por Disney y Warburton, (2012) aplica la función W en economía, para analizar dos modelos económicos: el primero es un modelo con inventario perecedero. El segundo es un análisis del Valor Presente Neto de un problema con pérdida de recorte.
En ingeniería química, la función W de Lambert es empleado en modelos que tratan con cinética de Michaelis-Menten (Goličnik, 2011). Para la ingeniería de alimentos industriales y bioquímica, enlos procesos de diafiltración y ultrafiltración se emplean extensamente para eliminar una variedad de pequeñas impurezas en productos biológicos (Shao y Zydney, 2004), (Foley, 2016). En ingeniería mecánica y eléctrica, esta función tiene aplicaciones en sistemas de control de motores (Yi et al., 2012) y retrasos de tiempo (S. Sathiya, D. Piriadarshani, 2017; Yi et al., 2008), por citar solo algunos ejemplos.
Un ejemplo de la función aplicada en electrónica es el campo de las comunicaciones, especialmente, el modelado de ruido blanco (Monir y Mraoui, 2014). En teoría de circuitos, específicamente en el diseño y análisis de circuitos analógicos, la aplicación de Lambert W es importante porque permite obtener puntos de operación expresados como función de la temperatura (Banwell, 2000; Jung y Guziewicz, 2009). En redes cooperativas, una variedad de problemas de asignación de recursos pueden formularse como optimización restringida teniendo en cuenta objetos de todo el sistema (Nosratinia et al., 2004). Por ejemplo, maximizar el rendimiento total del sistema, la capacidad o capacidad ergódica sujeta a restricciones de usuarios individuales, como velocidad mínima de datos, potencia máxima de transmisión, presupuesto energético, número total de subportadoras, entre otros. El principal uso de la función es obtener soluciones de forma cerrada para algunos problemas de asignación de recursos restringidos (Brah et al., 2011). Para el campo del diseño de paneles solares es necesario caracterizar los parámetros de diseño ya que su estudio comienza con el modelo de diodo (Tripathy et al., 2017; Gao, 2016); Hansen, 2017). Lattante (2011) propone el estudio de la evolución de la resistencia en serie en células solares orgánicas que ha sido controlada ajustando la característica de corriente experimental en la solución de la ecuación analítica del diodo utilizando la función W de Lambert.
Este trabajo propone una expresión analítica aproximada para la rama principal W_0 de la función W de Lambert, obtenida utilizando el Método Extendido de Series de Potencias (PSEM) (Vazquez-Leal y Sarmiento-Reyes, 2015). La evaluación de la expresión propuesta en este documento hace innecesario el uso de algoritmos numéricos para mejorar la precisión. La convención en este trabajo es que el valor exacto de la función W de Lambert es el obtenido por la función incorporada en Maple 17, basada en trabajos de Corless y colaboradores (Corless et al., 1993).
Recientemente, han surgido propuestas alternativas para obtener una solución analítica aproximada a problemas no lineales. Entre los métodos más empleados están: perturbación clásica (PM) , (Sandoval-Hernández et al., 2019a; Sandoval et al., 2021b; Filobello-Nino et al., 2017a 😉 Filobello-Nino et al., 2017b; Filobello-Nino et al., 2017c; Filobello-Nino et al., 2019a), Homotopía de Perturbación (HPM) (Vázquez-Leal, 2017; Sandoval-Hernández et al., 2021a), método de iteración variacional (VIM) (Khan, 2012) , método de PSEM (Vázquez-Leal y Sarmiento-Reyes, 2015; Filobello-Nino et al., 2019b; Sandoval-Hernández, 2019c), Taylor modificado TSM (Sandoval-Hernández, 2021b; Filobello-Nino et al., 2021), método de Homotopía de Perturbación Racional (Sandoval-Hernández, 2018a, 2018b), Método de perturbación de homotopía transformada de Laplace (LT-HPM) (Filobello-Nino et al., 2017d; Filobello-Nino et al., 2017e) y Adomian (Vázquez-Leal et al., 2012). PSEM resalta entre los métodos aproximativos por ser un método que n o requiere de parámetros perturbativos, no genera términos seculares y no numéricos ni analíticos. Por lo tanto, proponemos el uso de PSEM para obtener una aproximación precisa y compacta de Lambert W.
La organización del documento es la siguiente: La Sección 2 introduce los conceptos básicos de PSEM. En la Sección 3, se presenta la aproximación a la función W de Lambert utilizando PSEM. Varios estudios de caso donde se aplica la aproximación propuesta se introducen en la Sección 4. En la Sección 5, se presentan discusiones de los resultados. Finalmente, la Sección 6 proporciona las conclusiones de este trabajo.
2 El método de series de potencias extendidas
En general una ecuación diferencial puede escribirse de la siguiente manera
L(U)+N(U)-f(x)=0,x∈Ω,
teniendo como condición de frontera
B(u,∂u/∂η)=0, x∈Γ,
donde L y N son un operador lineal y un operador no lineal, respectivamente; f(x) es una función analítica conocida; B es un operador de frontera; Γ es la frontera del dominio Ω; ∂u/∂η es la diferenciación a lo largo de la normal trazada hacia afuera desde Ω (Sandoval-Hernandez et al., 2018). Ahora expresaremos la solución como una serie de potencias.
donde v_k (k=0,1,2,⋯) son los coeficientes de la serie de potencias. Ahora, propone que la solución para (5) puede ser escrita como una suma finita de funciones, como (Sandoval-Hernandez et al., 2021b)
o bien
donde u_i son constantes que deben ser determinadas por PSEM; f_i (x,u_i) son funciones de prueba arbitrarias; n y 2n son los órdenes de aproximaciones (7) y (8), respectivamente. Sean (7) y (8) como función de prueba (TF). A continuación, se desarrollan las series de Taylor de (7), o (8), resultando en la serie de potencias.
Calculando la serie de Taylor de (7) y (8), obteniendo las series de potencias dadas por
o bien
respectivamente, donde los coeficientes de Taylor P_k son expresados en términos de parámetros u_i Finalmente, igualando los coeficientes de la serie de potencias (9) o (10) con (6) y obtenemos los valores de u_i,, y sustituyendo en (7), o en (8) para obtener la aproximación PSEM. La selección de la función de prueba depende del comportamiento de la función. Las funciones propuestas son arbitrarias y pueden ser el producto de funciones algebraicas, funciones compuestas tales como funciones trascendentes, hiperbólicas, entre otras.
3 Aproximación de Lambert W con PSEM
La serie de Taylor de Lambert W está dada por
Ahora, se propone la función de prueba para Lambert W cuando x>(-1)/e dado por
Expandiendo (12) en series de Taylor en x=0 se obtiene
igualando los coeficientes de (11) y (13) se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas
Resolviendo el sistema de ecuaciones no lineales dado por 14 se obtienen las constantes, sustituyéndolas en (12), obtenemos
4 Casos de estudio
Esta sección introducirá dos casos de estudio para mostrar la utilidad de la aproximación de la función W de Lambert para evaluar expresiones sin la necesidad de usar métodos numéricos recursivos.
Caso de estudio 1 El trabajo de Banwell, (2000) presenta una solución analítica para un circuito electrónico simple compuesto por un diodo, impulsado por una fuente de voltaje V_th a través de una resistencia en serie R_Th en términos de la función W de Lambert, ver Figura 2.
Figura 2. Circuito con diodo, fuente de voltaje V_th y resistencia en serie R_Th
La corriente a través del diodo es I_d y la conductancia diferencial calculada por análisis de señal pequeña es d/(dV_Th ) 〖(I〗_d). Según (Banwell, 2000), I_d y d/(dV_Th ) 〖(I〗_d) pueden calcularse mediante estas ecuaciones
Derivando (16) se obtiene
con x en el argumento de Lambert W
Donde V_T es el voltaje térmico, igual a 25.86mV, la caída de voltaje a través del diodo aislado es V_do, y la corriente directa del diodo es I_do. Los valores para este estudio de caso (Banwell, 2000) son: la caída de voltaje a través del diodo es V_d0 = 0.504V, la corriente directa del diodo es I_d0 = 0.0001A, y R_Th = 100Ω. Sustituyendo en (16), (17) y (18), se obtienen las gráficas para la corriente del diodo I_d y la conductancia diferencial d/(dV_Th )(I_d). El rango de voltaje de V_Th va de 0 hasta 1.5V se muestra en la Figura 3.
Figura 3. Graficas de Corriente y conductancia diferencial.
Sustituyendo la función W de Lambert por (15) en (16) y (17), se obtiene
derivando (16), la conductancia diferencial es dada por
donde x está dado por (18). Las gráficas de la corriente I_d y la conductancia diferencial utilizando (19) y (20) se muestran con líneas sólidas en la Figura 3. Los errores relativos para la corriente y la conductancia diferencial calculados usando (19) y (20) se muestran en las Figuras 4 y 5, respectivamente.
En la Figura 4 se muestra el error absoluto al calcular la corriente I_d aplicando (19), que es 5.2809497 ×10^(-5) A cuando el voltaje esV_th=1.5V. En cuanto a la conductancia diferencial d/(dV_Th ) 〖(I〗_d), la Figura. 5 muestra el error absoluto empleando (20) para el cálculo; el valor obtenido es 2.1241789960 ×10^(-6) A/V cuando V_Th=1.5V. Es importante notar el aumento del error absoluto en la Figura 4 y la Figura 5 es debido al alto valor numérico de x = 3.608001666 ×10^14 proporcionado por (18), este es el resultado de evaluar una función exponencial multiplicada por una constante. Esta magnitud de x ha sido sustituida en (15), que representa un error absoluto de 0.20429206 comparado con el valor obtenido usando la función W de Lambert en Maple 17. Sin embargo, los errores absolutos mostrados en la Figura 4 y la Figura 5 son menores que 1.0 ×10^(-3).
Figura 4. Error absoluto para la corriente I_d.
Figura 5. Error absoluto para la conductancia d/(dV_Th ) 〖(I〗_d)
Caso de estudio 2
El trabajo de Foley, (2016) presenta la solución de la diafiltración de volumen constante en la ingeniería química. La solución considera una solución con concentración de soluto para reducir la concentración de estos solutos. Con ese fin, la solución es sometida a diafiltración de volumen constante. Este proceso se muestra en la Figura 6.
Figura 6. Configuración del proceso para diafiltración de volumen constante (Foley, 2016).
En el retentato al final de la diafiltración se da por la ecuación (Foley, 2016)
donde V_w es para una cantidad dada de diluyente añadido; V_0 es el volumen constante de retenido; c_f es la concentración del soluto; c_0 es la concentración inicial y se asumió que el soluto tiene un coeficiente de rechazo de cero. En resumen, la ecuación para el balance del soluto a lo largo de todo el proceso es (Foley, 2016)
aquí, c_p es la concentración del soluto en el recipiente de recolección del permeado al final de la filtración. La solución analítica para la ecuación (22) fue presentada por Foley, (2016) como
donde x es dado por
Para este caso, se considera que el valor de b es 0.5. El valor exacto es 1.593624260. Sustituyendo (24) en (15) obtenemos
Haciendo b = 0.5 y realizando la evaluación numérica, obtenemos que el valor de r es 1.593624442. El error absoluto calculado para este caso fue de 1.82 × 10^(-7), lo cual se considera suficientemente preciso para su uso en (15). El valor numérico para x cuando b = 0.5 en (24) es -0.2706705664. Este valor se encuentra dentro del intervalo -1/e≤x<0 , aquí, la función W de Lambert es multivaluada (Corless, et al, 1996). El valor exacto para x = -0.27067056644 es -0.40637573995. Sustituyendo el mismo valor en (15) obtenemos el valor numérico -0.406375795355, por lo tanto, el error aproximado es 5.5395659275 × 10^(-8)
5 Discusión
La ecuación (15) propuesta en este trabajo fue deducida usando PSEM, propuesto por Vázquez-Leal y Sarmiento-Reyes, (2015). Primero, se obtuvo la serie de Taylor de Lambert W dada (11) con un punto de expansión en x = 0; luego, se aplica la metodología PSEM proponiendo una función de prueba dada por (13), aquí se determinan los coeficientes para (15). Esta ecuación es analítica en x = 0 y su valor numérico exacto es cero, justo como la función W de Lambert está definida en el origen (Lambert, 1758; Euler, 1783). Es importante mencionar que el rango de convergencia alcanzado es amplio para esta ecuación con PSEM.
Por otro lado, (15) es la única función continua para el intervalo -1/e≤x≤∞ , definida en el origen con un valor exacto de cero. Además, su primera derivada también está definida en cero y coincide con la derivada en cero para Lambert W. La Tabla 1 proporciona una comparación de las derivadas de orden superior de (15), Además, la Tabla 2 presenta los errores relativos para diferentes derivadas de orden
Tabla 1: Valor de las derivadas de diferente orden de ecuación (15)
Tabla 2: Error relativo de las derivadas de (15)
La Tabla 2 presenta el error hasta la derivada número 90. A medida que se calculan las derivadas de orden superior, el error aumenta gradualmente. Dada su naturaleza continua, con un valor exacto de cero, el valor absoluto también es cero. Ahora se presenta la serie de Taylor de Lambert W hasta la potencia 16
Además, se propone una aproximación racional utilizando PSEM, utilizando los aproximantes de Padé (Powers y Sen, 2015), de orden [12/4], dando como resultado
donde
La ecuación (27) es exactamente la misma que la que habría obtenido aplicando PSEM. Los resultados mostrados en la Tabla 4 representan la precisión alcanzada al momento de predecir los siguientes coeficientes de la serie de Taylor. De esta manera, se concluye que a partir de los resultados obtenidos, que la aproximación de f(x) fue obtenida empleando PSEM y resume con precisión la serie de Taylor para W(x), permitiendo extender el dominio de convergencia para valores más altos de x.
Tabla 4. Coeficientes de la serie de Taylor
La Comparación entre la serie de Taylor para los coeficientes de W(x) y el polinomio interno de W ̃(x) en la Figura 7. Se puede observar que la serie de Taylor muestra una convergencia local y luego diverge a medida que aumentan los valores de potencia. Además, se encuentra que el polinomio interno de (15) inicialmente muestra un crecimiento que se detiene en la octava potencia, luego tiende a disminuir hasta cero para potencias de 15 o superiores. Este es un comportamiento interesante ya que el polinomio interno tiene la tendencia a converger mientras que los coeficientes de la serie de Taylor exhiben una tendencia divergente. Por lo tanto, a esta tendencia convergente del polinomio interno de (15) se añade el hecho de que al calcular su raíz de orden 17 y luego aplicar el algoritmo natural, el resultado es una atenuación que crea un equilibrio permitiendo exhibir un rendimiento asintótico.
Figura 7. Comportamiento de los coeficientes de las potencias.
La razón de este tipo de comportamiento es el hecho de que la mayoría de los métodos aproximativos existentes requieren calcular integrales. Es decir, las soluciones obtenidas por HPM, PM, VIM, entre otros, siempre se expresarán en términos de integrales conocidas. Por lo tanto, las soluciones aproximadas calculadas por estos métodos están circunscritas a ser expresadas en términos de funciones polinómicas, trascendentes o combinación de ambas (multiplicaciones y sumas). Sin embargo, se sabe por la teoría del Cálculo que hay una inmensa cantidad de integrales sin soluciones exactas conocidas, ya que las herramientas matemáticas (llamémoslas ‘trucos’) están limitadas a cierto tipo de funciones aprovechando simetrías y otros aspectos. No obstante, PSEM no requiere ningún proceso de integración en su procedimiento. De hecho, siempre que la función de prueba posea expansión de Taylor, es candidata a ser empleada en la metodología PSEM. Esto incluye funciones trascendentes, funciones compuestas en términos de diferentes funciones polinómicas y trascendentes, y funciones especiales tales como Gaussiana (Sandoval-Hernández, 2019c), Fresnel (Sandoval-Hernández, 2018c), entre otras.
Es posible disminuir los tiempos de cómputo en la evaluación del polinomio interno utilizando el algoritmo de Horner (Sandoval-Hernández, et al., 2023), esto a su vez disminuye el tiempo de cómputo de evaluación de (15).
Finalmente, es importante señalar que (27) obtenida usando PSEM es exactamente la misma que usando las aproximaciones de Padé para (26). De hecho, diversos experimentos numéricos para este y otros problemas Vázquez-Leal y Sarmiento-Reyes, (2015) han demostrado que PSEM es capaz de crear las mismas expresiones que si se hubieran hecho usando aproximaciones de Padé, por lo tanto, merece ser estudiado en profundidad en trabajos futuros.
6 Conclusiones
Este trabajo propuso la función logaritmo natural con un polinomio de grado 17 que aproxima la rama principal de Lambert W basada en la metodología PSEM, teniendo como principal ventaja que los resultados pueden evaluarse usando una simple calculadora científica. Es continua dentro del intervalo -1/e≤x<∞, descartando la necesidad de usar algoritmos numéricos. La expresión matemática obtenida puede evaluarse en una calculadora científica programable, o bien, en algún software educativo como GeoGebra. Esta expresión proporciona alta precisión para 0≤x≤2000 donde el error relativo máximo de la ecuación propuesta (15) es 8.07799229899×10^(-5).
Asimismo, en el análisis llevado a cabo se encontró que la expresión obtenida para Lambert W, la raiz n-ésima del logaritmo natural de atenúa el comportamiento de un polinomio de grado n. En el polinomio propuesto, el proceso de calcular la raíz con índice 17 del logaritmo natural del polinomio interno del mismo grado, resulta en una atenuación que equilibra la función, permitiendo un rendimiento que se aproxima al comportamiento asintótico.
La aproximación que obtuvo en este trabajo tiene aplicaciones prácticas, como se mostró en los estudios de caso propuestos, haciéndolas simple de usar como sustituto de W. Evaluando W ̃(x) para magnitudes del orden de 9〖x10〗^46 el error relativo es aproximadamente 0.03245165349, lo cual puede considerarse lo suficientemente pequeño para ser empleado en aplicaciones para la ciencia o ingeniería.
Conflicto de intereses
Los autores declaran no tener conflicto de intereses en la publicación de este artículo.
Referencias
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